aut-aut per l’integrale generalizzato in R

Teorema

Se $f:J=[a,b[\to \mathbb{R}$, con $b\in \mathbb{R}\cup \{+\infty \}$, è localmente integrabile e $f(x)\ge 0$ in $J$, allora esiste finito a $+\infty$,
${\lim }_{x\to b^{-}}{\int }_a^{x}f(t)dt={\sup }_{x\in J}{\int }_a^{x}f(t)dt$

Dimostrazione

La dimostrazione segue dall’osservazione
$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ è non decrescente

Osservazione: Il teorema vale inalterato nel caso $J=]a,b]$.

Osservazione:
$f(x)=-\cos \left(\frac{1}{x}\right)\cdot x^{-2}$
${\int }_0^1-\cos \left(\frac{1}{x}\right)\cdot x^{-2}dx$

$F(x)=\sin \left(\frac{1}{x}\right)$
$F^{\prime }(x)=f(x)$

$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }{\int }_t^1-\cos \left(\frac{1}{x}\right)\cdot x^{-2}dx=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\sin \left(1\right)-\sin \left(\frac{1}{t}\right)$
questo limite non esiste.

Risorse