criterio del confronto asintotico in R

Teorema

Siano $f,g:J=[a,b[\to \mathbb{R}$, con $b\in \mathbb{R}\cup \{+\infty \}$, localmente integrabili e tali che $f(x)>0,g(x)>0$ in $J$ ed esiste
$\underset{x\to b^{-}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=L\in ]0,+\infty [$
allora $f$ e $g$ sono entrambe integrabili in senso generalizzato oppure nessuna delle due lo è.

Dimostrazione

$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$ tale che $\forall x\in (b-\delta ,b)$ si ha che

$\left|\frac{f(x)}{g(x)}-L\right|<\epsilon$

$-\epsilon +L<\frac{f(x)}{g(x)}<\epsilon +L$ in $(b-\delta ,b)$
$(-\epsilon +L)\cdot g(x)<f(x)<f(x)<(\epsilon +L)\cdot g(x)$ in $(b-\delta ,b)$
La tesi segue dal criterio del confronto.

Esempio:
${\int }_0^1\frac{1+\sqrt[3]{x}}{x^2+\sqrt{x}}dxJ=]0,1]$
Applico il teorema del confronto asintotico

$f(x)=\frac{1+\sqrt[3]{x}}{x^2+\sqrt{x}}g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}\alpha =\frac{1}{2}<1$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1+\sqrt[3]{x}}{x^2+\sqrt{x}}\cdot \sqrt{x}=\left(\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1+\sqrt[3]{x}}{x^{\frac{3}{2}}+1}=1$

Risorse