criterio del rapporto con il limite per le serie

Teorema

Sia $\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n$ tale che $a_n>0\forall n$ ed esiste $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}=L$.

1. Se $L<1$, allora la serie converge.
2. Se $L>1$, allora la serie diverge.

Osservazione: se $L=1$, non si può dedurre nulla.

Dimostrazione (idea)

Caso $L<1$:

Possiamo scegliere $r$ tale che $L<r<1$.
$a_{n+1}<r{a}_n$, per n grande.
Iterando, otteniamo $a_n<r^n$.

Caso $L>1$:

Possiamo scegliere $r$ tale che $1<r<L$.
$a_{n+1}>r{a}_n$, per n grande.
I termini non tendono a 0, quindi la serie diverge.

Risorse