criterio dell’ordine di infinitesimo per le serie

Teorema

Sia $\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n$ tale che $a_n\ge 0\forall n$. Si ha che

1. se esiste $p>1$ tale che $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n\cdot n^p=L\in [0,+\infty [$, allora la serie converge.

2. se esiste $p\le 1$ tale che $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n\cdot n^p=L\in ]0,+\infty [\cup \{+\infty \}$, allora la serie diverge.

Esempio: $\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n$ con $a_n=\frac{n^2-\sin (n)}{n^6-2n\sin (n)}$, perciò $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=0$

$\frac{n^2-\sin (n)}{n^6-2n\sin (n)}\le \frac{n^2+1}{n^6-2n}=\frac{n^2\left(1+\frac{\sin (n)}{n^2}\right)}{n^6\left(1-\frac{2\sin (n)}{n^5}\right)}\Rightarrow \frac{1}{n^4}$

Osservando che $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2-\sin (n)}{n^6-2n\sin (n)}\cdot n^4=1$, e applicando il criterio dell’ordine di infinitesimo $p=4$, si ha che la serie converge.

Esempio: $\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n$ con $a_n=\sin \left(\frac{n+1}{n^2+1}\right)$, perciò $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=0$

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\sin \left(\frac{n+1}{n^2+1}\right)\cdot n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n+1}{n^2+1}\sim \frac{1}{n}$

Osservando che $\underset{n\to +\infty }{\lim }\sin \left(\frac{n+1}{n^2+1}\right)\cdot n=1$, e applicando il criterio dell’ordine di infinitesimo $p=1$, si ha che la serie diverge.

Dimostrazione

Risorse