criterio della radice con il limite per le serie

Teorema

Sia $\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n$ tale che $a_n\ge 0\forall n$ ed esiste $\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt[n]{a_n}=L$.

1. Se $L<1$, la serie converge.
2. Se $L>1$, la serie diverge.

Osservazione: se $L=1$, non si può dedurre nulla.

• $a_n=\frac{1}{n}{\left(\frac{1}{n}\right)}^{\frac{1}{n}}=e^{\ln \left[{\left(\frac{1}{n}\right)}^{\frac{1}{n}}\right]}=e^{\frac{1}{n}\ln \frac{1}{n}}\to 1$ serie divergente
• $a_n=\frac{1}{n^2}$ si fa in maniera analoga. Serie convergente.

Esempio: $a_n={\left(\frac{n}{n+1}\right)}^{n^2}$

$\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{{\left(\frac{n}{n+1}\right)}^{n^2}}={\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{-n}\to \frac{1}{e}<1$

Dimostrazione

Risorse