criterio di convergenza di Cauchy

Teorema

(Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza)

Data $\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n$, si ha che

$\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n$ converge $\iff$ $(s_n{)}_n$ converge

ovvero
$\forall \epsilon >0,\exists \overline{n}:\forall n\ge \overline{n},\forall p\left|s_n-s_{n+p}\right|<\epsilon$

ovvero
$\forall \epsilon >0,\exists \overline{n}:\forall n\ge \overline{n},\forall p\left|a_{n+p}+a_{n+p-1}+\dots +a_{n+1}\right|<\epsilon$

Dimostrazione

Risorse