derivata direzionale

Definizione

Sia $\underline{v}\in {\mathbb{R}}^N$ un versore $\Vert v\Vert =1$.
Si dice che $f$ è derivabile in $\underline{x_0}$ lungo la direzione orientata $\underline{v}$ se esiste finito il limite

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(\underline{x_0}+t\underline{v})-f(\underline{x_0})}{t}=\frac{\partial f}{\partial v}(\underline{x_0})$

dove $\frac{\partial f}{\partial v}(x_0)$ si dice derivata direzionale di $f$ in $\underline{x_0}$ lungo $\underline{v}$.

Esempio: $f(x,y)=x+y^2\underline{x_0}=(1,2)\underline{v}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$\frac{\partial f}{\partial v}(1,2)$

$\underline{x_0}+t\underline{v}=\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}t,2+\frac{\sqrt{2}}{2}t\right)$

$\frac{f\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}t,2+\frac{\sqrt{2}}{2}t\right)-f(1,2)}{t}=\frac{\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}t\right)+{\left(2+\frac{\sqrt{2}}{2}t\right)}^2-1-4}{t}\stackrel{t\to 0}{⟶}\frac{\sqrt{2}}{2}+2\sqrt{2}$

$\frac{\partial f}{\partial v}(\underline{x_0})=\frac{\sqrt{2}}{2}+2\sqrt{2}$

Risorse