esercizi sulla convergenza delle serie numeriche

Esercizio: Studiare al variare del parametro $\alpha \in \mathbb{R}$ la convergenza della serie $\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{{\alpha }^n}{n^2}$

$\alpha =1\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^2}$ converge

$\alpha =-1\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{(-1{)}^n}{n^2}$ converge per Leibniz e poiché è assolutamente convergente

$\alpha =0\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{0}{n^2}$ converge

$\left|\alpha \right|<1\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{{\left|\alpha \right|}^n}{n^2}$ se considero $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{{\left|\alpha \right|}^n}{n^2}\cdot n^2=0$ dunque la serie è assolutamente convergente, perciò è convergente

$\left|\alpha \right|>1$

• $\alpha >1\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{{\alpha }^n}{n^2}\cdot n^2=+\infty$ dunque la serie non converge
• $\alpha <-1$ per gli $n$ pari $a_n\stackrel{n\to +\infty }{⟶}+\infty$ e per gli $n$ dispari $a_n\stackrel{n\to +\infty }{⟶}-\infty$ dunque la serie non converge

Esercizio: Studiare il comportamento della serie $\sum _{n=1}^{+\infty }{\left(n^{\frac{1}{n}}-1\right)}^n$

Proviamo ad utilizzare il criterio della radice

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt{a_n}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt[n]{{\left(n^{\frac{1}{n}}-1\right)}^n}=\underset{n\to +\infty }{\lim }{n}^{\frac{1}{n}}-1=1^{+}-1=0^{+}$

$n^{\frac{1}{n}}-1=e^{\ln n^{\frac{1}{n}}}=e^{\frac{\ln n}{n}}=1^{+}$

Dunque c’è la convergenza.

Esercizio: $\sum _{n=1}^{+\infty }\left(e^{\frac{1}{n^3}}-1\right)$

$\frac{1}{n^3}=t\stackrel{n\to +\infty }{⟶}0$

$\frac{e^t-1}{t}\stackrel{t\to 0}{⟶}1$

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{e^{\frac{1}{n^3}}-1}{\frac{1}{n^3}}=1$

Dunque $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(e^{\frac{1}{n^3}}-1\right)\cdot n^3=1$ e quindi per il criterio dell’ordine di infinitesimo con $p = 3 si deduce che la serie converge.

Esercizio: Studiare il comportamento della serie $\sum _{n=1}^{+\infty }\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$

Utilizziamo il limite notevole $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+t)}{t}=1$

e dunque si ha che $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}=1$

e dunque per il criterio dell’ordine di infinitesimo con $p=1$ si deduce che la serie converge.

Esercizio: $\sum _{n=1}^{+\infty }(-1{)}^n\cdot \frac{n+1}{n^2+2}$

Osserviamo che la serie non è assolutamente convergente, in quanto $\frac{n+1}{n^2+2}\sim \frac{1}{n}$, ovvero

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n+1}{n^2+2}\cdot n=1$, criterio dell’ordine di infinitesimo con $p=1$.

Proviamo ad utilizzare il criterio di Leibniz.

$\underset{n\to +\infty }{\lim }(-1{)}^n\cdot a_n$ con $a_n=\frac{n+1}{n^2+2}$

• $a_n>0\forall n$
• $a_n\to 0$, per $n\to +\infty$
• $a_{n+1}\stackrel{?}{\le }{a}_n\forall n$

Per provare l’ultima, introduciamo a funzione ausiliaria

$\Phi (t)=\frac{t+1}{t^2+2}$ e calcoliamo la derivata ${\Phi }^{\prime }(t)=\frac{-t^2-2t+2}{(t^2+2{)}^2}<0\forall t\ge 1$

dunque $\Phi (t)$ è decrescente ed in particolare $a_{n+1}=\Phi (n+1)\le \Phi (n)=a_n\forall n$

Esercizio: Discutere la convergenza e la convergenza assoluta della serie $\sum _{n=1}^{+\infty }(-1{)}^n\frac{\log n}{e^n}$

Osservo che la serie è assolutamente convergente in quanto $\sum _{n=1}^{+\infty }(-1{)}^n\frac{\log n}{e^n}\cdot n^2=0$ e dunque per il criterio dell’ordine di infinitesimo con $p=2$ si ha la convergenza.

Esercizio per lo studente: Stabilire la convergenza e la convergenza assoluta della serie $\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{\cos (n\pi )}{n+1}\cdot {\alpha }^n$ al variare di $\alpha \in \mathbb{R}$.