funzione integrabile in senso generalizzato in R

Definizione

1. Sia $J=[a,b[$, con $b\in \mathbb{R}\cup \{+\infty \}$ e sia $f:J\to \mathbb{R}$ localmente integrabile.
   Si dice che $f$ è integrabile in senso generalizzato su $J$ se esiste finito
   ${\lim }_{x\to b^{-}}{\int }_a^{x}f(t)dt:={\int }_a^{b}f(t)dt$
2. Sia $J=]a,b]$, con $a\in \mathbb{R}\cup \{-\infty \}$ e sia $f:J\to \mathbb{R}$ localmente integrabile.
   Si dice che $f$ è integrabile in senso generalizzato su $J$ se esiste finito
   ${\lim }_{x\to a^{+}}{\int }_x^{b}f(t)dt:={\int }_a^{b}f(t)dt$
3. Sia $J=]a,b[$, con $a\in \mathbb{R}\cup \{-\infty \}$ e $b\in \mathbb{R}\cup \{+\infty \}$ e sia $f:J\to \mathbb{R}$ localmente integrabile.
   Si dice che $f$ è integrabile in senso generalizzato su $J$ se esiste $c\in J$ tale che $f$ è integrabile in senso generalizzato su $]a,c]$ e su $[c,b[$ e si pone
   ${\int }_a^{b}f(t)dt:={\int }_a^{c}f(t)dt+{\int }_c^{b}f(t)dt$

Esempio:
${\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x}}dxJ=[0,1[$

${\int }_0^t\frac{1}{\sqrt{1-x}}dx={\left(-2\sqrt{1-x}\right)|}_0^t=-2\left(\sqrt{1-t}-1\right)$

$\underset{t\to 1^{-}}{\lim }-2\left(\sqrt{1-t}-1\right)=2$

Esempio:
${\int }_{-\infty }^0{e}^{x}dxJ=]-\infty ,0]$

$\underset{t\to -\infty }{\lim }{\int }_t^0{e}^{x}dx=\underset{t\to -\infty }{\lim }{e^x|}_t^0=\underset{t\to -\infty }{\lim }1-e^t=1$

Esempio:
${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{1+x^2}dxJ=\mathbb{R}$

Scelgo $c=0$
$\underset{t\to -\infty }{\lim }{\int }_t^0\frac{1}{1+x^2}dx=\underset{t\to -\infty }{\lim }{\arctan (x)|}_t^0=0-\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{2}$
$\underset{t\to +\infty }{\lim }{\int }_0^t\frac{1}{1+x^2}dx=\underset{t\to +\infty }{\lim }{\arctan (x)|}_0^t=\frac{\pi }{2}-0=\frac{\pi }{2}$

${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}=\pi$

Risorse