Insieme prodotto

Definizione

L’insieme prodotto (o prodotto cartesiano) di due insiemi $A$ e $B$ è l’insieme di tutte le coppie ordinate il cui primo elemento appartiene ad $A$ e il secondo a $B$:

$$A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}$$

Estensione a n insiemi

Per $n$ insiemi $A_1,A_2,\dots ,A_n$:

$$A_1\times A_2\times \cdots \times A_n=\{(a_1,a_2,\dots ,a_n)\mid a_1\in A_1,a_2\in A_2,\dots ,a_n\in A_n\}$$

Caso particolare: potenza cartesiana

Se $A_1=A_2=\cdots =A_n=A$, si indica con:

$$A^n=A\times A\times \cdots \times A\text{(n volte)}$$

Esempi

• $\mathbb{R}\times \mathbb{R}={\mathbb{R}}^2$ (il piano cartesiano)
• $\{1,2\}\times \{a,b\}=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)\}$
• ${\mathbb{R}}^3=\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}$ (lo spazio tridimensionale)

Proprietà

• Cardinalità: $|A\times B|=|A|\cdot |B|$ (per insiemi finiti)
• Non commutativo: $A\times B\ne B\times A$ (a meno che $A=B$)
• Associativo: $(A\times B)\times C\cong A\times (B\times C)$ (isomorfi ma non uguali)

Risorse

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