integrabilità in senso generalizzato delle funzioni campione in R

Teoremi

Teorema ($J$ illimitato):

1. Sia $J=[a,+\infty [$, con $a>0$. Si ha che
   ${\int }_a^{+\infty }\frac{1}{x^{\alpha }}dx$ esiste finito $\iff \alpha >1$

2. Sia $J=]-\infty ,b]$, con $b<0$. Si ha che
   ${\int }_{-\infty }^b\frac{1}{{\left|x\right|}^{\alpha }}dx$ esiste finito $\iff \alpha >1$

Teorema ($J$ limitato):

1. Sia $J=[a,b[$, con $a\le 0<b<+\infty$. Si ha che
   ${\int }_a^b\frac{1}{(b-x{)}^{\alpha }}dx$ esiste finito $\iff \alpha <1$

2. Sia $J=]a,b]$, con $a\le 0<b<+\infty$. Si ha che
   ${\int }_a^b\frac{1}{(x-a{)}^{\alpha }}dx$ esiste finito $\iff \alpha <1$

Osservazione:
$\phi (x)=\left({\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\frac{1}{2}{t}^2}dt\right)\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}$

Dimostrazione

Risorse