introduzione assiomatica dell’insieme dei numeri reali

Definizione

Esiste un insieme $R$ tale che:

$A)$ Su $R$ , è definita un’operazione di somma o addizione

$+ : R \times R \to R$
$(x, y) \mapsto x + y$

$A_{1})$ La somma è associativa

$\forall x, y, z$ vale che $x + (y + z) = (x + y) + z$

$A_{2})$ Esiste l’elemento neutro

$\exists0 \in R : 0 + x = x + 0 = x$

$A_{3})$ Esiste l’opposto

$\forall x \in R, \exists x^{'} \in R : x + x^{'} = x^{'} + x = 0$

$A_{4})$ La somma è commutativa

$\forall x, y$ vale che $x + y = y + x$

$(R, +)$ è un gruppo abeliano.

$M)$ Su $R$ , è definita un’operazione di prodotto o moltiplicazione

$\cdot : R \times R \to R$
$(x, y) \mapsto x \cdot y$

$M_{1})$ La moltiplicazione è associativa

$\forall x, y, z$ vale che $x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z$

$M_{2})$ Esiste l’elemento neutro

$\exists1 \in R : 1 \cdot x = x \cdot 1 = x$

$M_{3})$ Esiste l’opposto

$\forall x \in R, \exists x^{'} \in R : x \cdot x^{'} = x^{'} \cdot x = 1$

$M_{4})$ La moltiplicazione è commutativa

$\forall x, y$ vale che $x \cdot y = y \cdot x$

$D)$ Esiste la proprietà distributiva che unisce la somma e la moltiplicazione

$\forall x, y, z$ vale che $x \cdot (y + z) = (x \cdot y) + (x \cdot z)$

$(R, +, \cdot)$ è un campo.

$O)$ Su $R$ , è definito un ordinamento totale che chiamo $\geq$ “maggiore o uguale”

$O_{1})$ $\forall x, y, z \in R$ vale che $x \geq y \Rightarrow x + z \geq y + z$

$O_{2})$ $\forall x, y, z \in R$ vale che $x \geq y \land z \geq 0 \Rightarrow x \cdot z \geq y \cdot z$

$S)$ Siano $A$ e $B$ sottoinsiemi di $R$ con $A \neq = \emptyset$ e $B \neq = \emptyset$ .

Supponiamo che $\forall a \in A, \forall b \in B, a \leq b$ , allora

$\exists ξ \in R : \forall a \in A, \forall b \in B$

$a \leq ξ \leq b$

Dagli assiomi posso derivare le normali proprietà:

$\forall x \in R, x \cdot 0 = 0 \land \forall x, y \in R, x \cdot y = 0 \Rightarrow x = 0 \lor y = 0$
$(- a) \cdot (- b) = ab$
$(- a) \cdot b = - ab$
$1 > 0$ e $\forall a \in R, a^{2} \geq 0$