lemma di Abel

Teorema

Se $\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n$ converge in $\overline{x}$, con $\overline{x}\ne 0$, allora essa converge (assolutamente) per ogni $x\in \mathbb{R}$ tale che $\left|x-x_0\right|<\left|\overline{x}-x_0\right|$.

Dimostrazione

Considero $x\in \mathbb{R}$ tale che $\left|x-x_0\right|<\left|\overline{x}-x_0\right|\boxed{\le }$,
prendo $\left|a_n(x-x_0{)}^n\right|=\left|a_n(\overline{x}-x_0{)}^n\right|\cdot {\left(\frac{\left|x-x_0\right|}{\left|\overline{x}-x_0\right|}\right)}^n$

osservo che poiché $\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n(\overline{x}-x_0{)}^n$ converge, si ha che $a_n(\overline{x}-x_0{)}^n\stackrel{n\to +\infty }{⟶}0$ e dunque $\exists M>0:\left|a_n(\overline{x}-x_0{)}^n\right|\le M\forall n$

$0<q(x)=\frac{\left|x-x_0\right|}{\left|\overline{x}-x_0\right|}<1$

$\boxed{\le }M\cdot q(x{)}^n$

$\sum _{n=1}^{+\infty }M\cdot q(x{)}^n$ converge.

Allora per il criterio del rapporto si ha che la serie $\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n$ converge.

Osservazione

C’è convergenza uniforme su $[x_0-r,x_0+r]$ per ogni $0<r<\left|\overline{x}-x_0\right|$ (si usa l’M-test di Weierstrass).

Risorse