modulo

Definizione

Un modulo su un anello $R$ è una struttura algebrica $(M,+,\cdot )$ simile a uno spazio vettoriale, ma dove gli scalari provengono da un anello $R$ anziché da un campo $K$. $(M,+)$ è un gruppo abeliano e la moltiplicazione scalare $\cdot :R\times M\to M$ soddisfa assiomi analoghi a quelli degli spazi vettoriali:

• $\forall r,s\in R$ e $\forall m,n\in M$:
  • $r\cdot (m+n)=r\cdot m+r\cdot n$
  • $(r+s)\cdot m=r\cdot m+s\cdot m$
  • $(rs)\cdot m=r\cdot (s\cdot m)$
  • $1\cdot m=m$, se $R$ è un anello con unità.

Un modulo è una generalizzazione del concetto di spazio vettoriale, dove gli scalari possono provenire da una struttura algebrica più generale di un campo.

Nonostante la definizione molto simile, i moduli possono avere proprietà radicalmente diverse da quelle degli spazi vettoriali: ad esempio, non tutti i moduli possiedono una base, e quindi non è possibile definire una dimensione che li caratterizzi. Capire quali proprietà degli spazi vettoriali siano valide anche per i moduli - e sotto quali ipotesi sull’anello A - è parte integrante della teoria dei moduli.

La nozione di modulo è centrale nell’algebra commutativa e nell’algebra omologica, e forma la base della teoria delle rappresentazioni dei gruppi; è inoltre usata nella geometria algebrica e nella topologia algebrica.

Wikipedia

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