prodotto scalare

Definizione in Rn

Dati $\underline{x},\underline{y}\in {\mathbb{R}}^N$, si definisce il prodotto scalare

$⟨\underline{x},\underline{y}⟩=x_1{y}_1+\dots +x_N{y}_N$

dove $x=(x_1,\dots ,x_N)$ e $y=(y_1,\dots ,y_N)$.

Proprietà del prodotto scalare

$i)$ $⟨\lambda \underline{x}+\mu \underline{y},\underline{z}⟩=\lambda ⟨\underline{x},\underline{z}⟩+\mu ⟨\underline{y},\underline{z}⟩\forall \lambda ,\mu \in \mathbb{R}\forall \underline{x},\underline{y},\underline{z}\in {\mathbb{R}}^N$
$ii)$ $⟨\underline{x},\underline{y}⟩=⟨\underline{y},\underline{x}⟩$
$iii)$ $⟨\underline{x},\underline{x}⟩\ge 0$ e $⟨\underline{x},\underline{x}⟩=0\iff \underline{x}=\underline{0}$

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale su $\mathbb{R}$. Un’applicazione $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to \mathbb{R}$ che verifica $i),ii),iii)$ si dice prodotto scalare.

La coppia $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ si dice spazio dotato di prodotto scalare.

Definizione in R

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Risorse