Seno e coseno iperbolico

Definizione

Il seno iperbolico e il coseno iperbolico sono funzioni iperboliche definite per ogni $x\in \mathbb{R}$ come:

Definizione mediante esponenziali

$$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$ $$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$

Relazione fondamentale

Le funzioni iperboliche soddisfano l’identità fondamentale:

$${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$$

Tangente iperbolica

Da queste si definisce anche la tangente iperbolica:

$$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$$

Proprietà

Proprietà algebriche

• $\sinh (-x)=-\sinh x$ (funzione dispari)
• $\cosh (-x)=\cosh x$ (funzione pari)
• $\sinh 0=0$, $\cosh 0=1$

Formule di addizione

• $\sinh (x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y$
• $\cosh (x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y$

Derivate

• $\frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x$
• $\frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x$

Interpretazione geometrica

Le funzioni iperboliche parametrizzano l’iperbole $x^2-y^2=1$ nello stesso modo in cui le funzioni trigonometriche parametrizzano la circonferenza $x^2+y^2=1$.

Risorse