serie assolutamente convergenti semplicemente convergenti

Definizione

Una serie $\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n$ si dice assolutamente convergente se $\sum _{n=1}^{+\infty }\left|a_n\right|$ converge.

Una serie $\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n$ si dice semplicemente convergente se converge, ma non è assolutamente convergente.

Esempio: $\sum _{n=1}^{+\infty }(-1{)}^n\frac{1}{n^2}$ è assolutamente convergente.

Esempio: $\sum _{n=1}^{+\infty }(-1{)}^n\frac{1}{n}$ è semplicemente convergente.

Teorema: Se una serie è assolutamente convergente, allora è anche convergente.

Dimostrazione: Poiché $\sum _{n=1}^{+\infty }\left|a_n\right|$ converge, per il criterio di Cauchy, si ha che
$\forall \epsilon >0,\exists \overline{n}:\forall n\ge \overline{n},\forall p\left|\left|a_{n+p}\right|+\left|a_{n+p-1}\right|+\dots +\left|a_n\right|\right|<\epsilon$

Poiché $\left|a_{n+p}+a_{n+p-1}+\dots +a_n\right|\le \left|\left|a_{n+p}\right|+\left|a_{n+p-1}\right|+\dots +\left|a_n\right|\right|<\epsilon$

Si ha che $\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n$ soddisfa il criterio di Cauchy e quindi converge.

Risorse