teorema dei due carabinieri in R

Teorema

Siano $f,g,h:E\to \mathbb{R}$, con $E\subseteq \mathbb{R}$,
sia $x_0\in \tilde{\mathbb{R}}$, $x_0$ punto di accumulazione per $E$, $L\in \mathbb{R}$

supponiamo che $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }h(x)=L$

e $\forall x\in E\setminus \{x_0\},f(x)\le g(x)\le h(x)$

Allora $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=L$

Dimostrazione

Se che $L\in \mathbb{R}$,
sia $x_0\in \mathbb{R}$,
$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=L$

Sapendo che

$\forall VdiL,\exists Udi{x}_0:\forall x\in E,x\in U\setminus \{x_0\}\Rightarrow f(x)\in V$

$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\forall x\in E,0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$
$\Updownarrow$
$-\epsilon <f(x)-L<\epsilon$
$\Downarrow$
$L-\epsilon <f(x)<L+\epsilon$

Allora prendo

$\forall \epsilon >0,\exists {\delta }_1>0:\forall x\in E,0<|x-x_0|<{\delta }_1\Rightarrow L-\epsilon <f(x)<L+\epsilon$

$\forall \epsilon >0,\exists {\delta }_2>0:\forall x\in E,0<|x-x_0|<{\delta }_2\Rightarrow L-\epsilon <h(x)<L+\epsilon$

se scelgo $\delta =min\{{\delta }_1,{\delta }_2\}$, allora valgono contemporaneamente

le metto assieme

$L-\epsilon <f(x)\le g(x)\le h(x)<L+\epsilon$

quindi ho che

$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\forall x\in E,0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow L-\epsilon <g(x)<L+\epsilon$

cioè $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=L$

Risorse