teorema di convergenza della serie di Taylor

Teorema

Sia $f:]x_0-h,x_0+h[\to \mathbb{R}$ una funzione di classe $C^{\infty }$ e supponiamo che esista $M>0$ tale che $\forall n\ge 0$

$\left|f^{(n)}(x)\right|\le M\cdot \frac{n!}{h^n}\forall x\in ]x_0-h,x_0+h[$

allora $f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$

Inoltre la convergenza è uniforme in $[x_0-r,x_0+r]$ per ogni $0<r<h$.

Dimostrazione

Per la formula di Taylor-Lagrange si ha che $\forall n$

$\left|f(x)-s_{n+1}(x)\right|=\left|f(x)-p_{n,x_0(x)}\right|=\left|\frac{f^{(n+1)}({\xi }_n)}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}\right|$
$\le M\cdot \frac{(n+1)!}{h^{n+1}}\cdot \frac{{\left|x-x_0\right|}^{n+1}}{(n+1)!}=M\cdot {\left(\frac{\left|x-x_0\right|}{h}\right)}^{n+1}\stackrel{n\to +\infty }{⟶}0{\xi }_n$ è un punto compreso tra $x$ e $x_0$.

$\underset{x\in [x_0-r,x_0+r]}{\sup }\left|f(x)-s_{n+1}(x)\right|\le M\cdot {\left(\frac{r}{h}\right)}^{n+1}\stackrel{n\to +\infty }{⟶}0$

Osservazione

Poiché $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n!}{h^n}=+\infty$, la condizione del teorema precedente è verificata se $\exists k>0:\left|f^{(n)}(x)\right|\le k\forall n,\forall x\in ]x_0-h,x_0+h[$.

Risorse