categoria

Definizione

Definizione

Una categoria $\mathcal{C}$ consiste di quanto segue:

1. Una classe $\text{ob}(\mathcal{C})$, i cui elementi sono chiamati oggetti.
2. Una classe $\text{mor}(\mathcal{C})$, i cui elementi sono chiamati morfismi, mappe o frecce. Ogni morfismo ha associati un unico oggetto sorgente $a$ e un unico oggetto destinazione $b$ in $\text{ob}(\mathcal{C})$. La scrittura $f:a\to b$ indica che $f$ è un morfismo con sorgente $a$ e destinazione $b$. La classe dei morfismi da $a$ a $b$ è indicata con $\text{mor}(a,b)$.
3. Per ogni terna di oggetti $a$, $b$ e $c$ in $\mathcal{C}$, è definita una funzione $\text{mor}(b,c)\times \text{mor}(a,b)\to \text{mor}(a,c)$, chiamata composizione di morfismi. La composizione di $f:b\to c$ con $g:a\to b$ si indica con $f\circ g:a\to c$ (talvolta si indica semplicemente con $fg$).

La composizione deve soddisfare i seguenti assiomi:

• Associatività: se $f:a\to b$, $g:b\to c$ e $h:c\to d$, allora

  $$h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$$

• Identità: per ogni oggetto $x$, esiste un morfismo ${\text{id}}_x:x\to x$, chiamato morfismo identità su $x$, tale che per ogni morfismo $f:a\to x$ vale

  $${\text{id}}_x\circ f=f$$

  e per ogni morfismo $g:x\to b$ si ha

  $$g\circ {\text{id}}_x=g$$

Dagli assiomi si deduce che ad ogni oggetto è associato un unico morfismo identità. Questo permette di dare una definizione diversa di categoria, data dalla sola classe dei morfismi: gli oggetti vengono identificati a posteriori con i corrispondenti morfismi identità.

Una categoria si dice piccola se la classe dei morfismi (e quindi quella degli oggetti, in corrispondenza biunivoca coi morfismi identità come detto sopra) è un insieme, e grande altrimenti, ovvero se i morfismi formano una classe propria.
Se per ogni coppia di oggetti $a$, $b$ in una categoria la classe dei morfismi $\text{mor}(a,b)$ tra di essi è un insieme, la categoria si dice localmente piccola (in particolare, ogni categoria piccola è localmente piccola). Molte importanti categorie sono grandi ma localmente piccole, come ad esempio la categoria degli insiemi e le funzioni tra di essi.

teoria delle categorie
isomorfismo

Risorse