connettivo logico

Definizione

I connettivi logici servono a costruire nuove proposizioni dalle proposizioni di partenza.

• Connettivi UNARI
  • Negazione
• Connettivi BINARI
  • Congiunzione
  • Disgiunzione
  • Implicazione
  • Doppia implicazione

Negazione - NOT

$\neg p$
“non p”

$p$	$\neg p$
V	F
F	V

Congiunzione - AND

$p\wedge q$
“p e q”

$p$	$q$	$p\wedge q$
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Disgiunzione - OR

$p\vee q$
“p oppure q”

$p$	$q$	$p\vee q$
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

La disgiunzione non esclusiva $(XOR)$ si indica con $⊻$ e la sua tabella di verità è:

$p$	$q$	$p⊻q$
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

$vel\to$ disgiunzione inclusiva
$aut\to$ disgiunzione esclusiva

Implicazione (materiale)

$p\Rightarrow q$
“p implica q” oppure “se p allora q”

$p$	$q$	$p\Rightarrow q$
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Esempi
$p:$ piove.
$q:$ prendo l’ombrello.
$p\Rightarrow q:$ se piove allora prendo l’ombrello.

Voglio negarlo, quindi

$\neg (p\Rightarrow q):$ non è vero che se piove allora prendo l’ombrello.

Equivale a dire: “piove e non prendo l’ombrello.”

Quindi

$\neg (p\Rightarrow q)=p\wedge \neg q$

Poiché, se è vero che

$\neg (\neg p)=p$

allora

$\neg (\neg (p\Rightarrow q))=\neg (p\wedge \neg q)=$

per De Morgan (vedi più avanti)

$=\neg p\vee \neg (\neg q)=\neg p\vee q$

trovando infine che

$\neg (\neg p\vee q)=p\wedge \neg q$

Doppia implicazione

$p\iff q$
“p è equivalente a q” oppure “p se e solo se q”

$p$	$q$	$p\iff q$
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Inoltre

$p\iff q=(p\Rightarrow q)\wedge (q\Rightarrow p)$

$p$	$q$	$p\Rightarrow q$	$q\Rightarrow p$	$(p\Rightarrow q)\wedge (q\Rightarrow p)$
V	V	V	V	V
V	F	F	V	F
F	V	V	F	F
F	F	V	V	V

Esempi
$p:\text{in un triangolo, 2 lati sono uguali.}$
$q:\text{in un triangolo, 2 angoli sono uguali.}$
$p\iff q$

Risorse