criterio del confronto in R

Teorema

Siano $f,g:J=[a,b[\to \mathbb{R}$, con $b\in \mathbb{R}\cup \{+\infty \}$, localmente integrabili e tali che $0\le f(x)\le g(x)$ in $J$. Sia ha che:

1. se $g$ è integrabile in senso generalizzato su $J$, allora lo è anche $f$ e
   ${\int }_a^{b}f(t)dt\le {\int }_a^{b}g(t)dt$

2. se $f$ non è integrabile in senso generalizzato su $J$, allora non lo è nemmeno $g$.

Dimostrazione

1. $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt,G(x)={\int }_a^{x}g(t)dt$
   Poiché $f(x)\le g(x)$ in $J$, si ha che $F(x)\le G(x)$

   $\underset{x\to b}{\lim }{\int }_a^{x}f(t)dt=\underset{x\in J}{\sup }F(x)\le \underset{x\in J}{\sup }G(x)=\underset{x\to b}{\lim }{\int }_a^{x}g(t)dt<+\infty$ per ipotesi.

   Quindi $f$ è integrabile in senso generalizzato e vale
   ${\int }_a^{b}f(t)dt\le {\int }_a^{b}g(t)dt$

2. è la contronominale del punto 1. ($p\Rightarrow q\iff \neg q\Rightarrow \neg p$)

Risorse