criterio del confronto per le serie

Teorema

Sia $\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n$ e $\sum _{n=1}^{+\infty }{b}_n$ tali che $\forall n$ si abbia $0\le a_n\le b_n$.

Sia ha che

1. se $\sum _{n=1}^{+\infty }{b}_n$ converge, allora anche $\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n$ converge.

2. se $\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n$ diverge, allora anche $\sum _{n=1}^{+\infty }{b}_n$ diverge.

Esempio: $\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{2^n+3^n}{3^n+4^n}$

$\frac{2^n+3^n}{3^n+4^n}\le a{\left(\frac{?}{?}\right)}^n$

$\frac{2^n+3^n}{3^n+4^n}\le \frac{2\cdot 3^n}{4^n}\le 2{\left(\frac{3}{4}\right)}^n$
il termine generale di una serie geometrica di ragione $\frac{3}{4}<1$ e dunque convergente. Dunque anche la serie data è convergente per il criterio del confronto.

Esempio: $\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{n}}$

la serie quindi diverge in quanto
$\frac{1}{\sqrt{n}}\ge \frac{1}{n}$ (termine generale della serie armonica)

Dimostrazione

Risorse