criterio dell’ordine di infinitesimo e di infinito (J limitato)

Teoremi

Criterio dell’ordine di infinitesimo (J limitato)

Sia $f:J=[a,b[\to \mathbb{R}$ localmente integrabile. Si ha

1. se esiste $\alpha >1$ tale che
   $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left|f(x)\right|\cdot x^{\alpha }=L\in [0,+\infty [$
   allora $f$ è assolutamente integrabile in senso generalizzato su $J$.

2. se esiste $\alpha \le 1$ tale che
   $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left|f(x)\right|\cdot x^{\alpha }=L\in ]0,+\infty [\cup \{+\infty \}$
   allora $f$ non è assolutamente integrabile in senso generalizzato.

Criterio dell’ordine di infinito (J limitato)

Sia $f:J=[a,b[\to \mathbb{R}$, con $b\in \mathbb{R}$ localmente integrabile. Si ha

1. se esiste $\alpha <1$ tale che
   $\underset{x\to b^{-}}{\lim }\left|f(x)\right|\cdot (b-x{)}^{\alpha }=L\in [0,+\infty [$
   allora $f$ è assolutamente integrabile in senso generalizzato su $J$.

2. se esiste $\alpha \ge 1$ tale che
   $\underset{x\to b^{-}}{\lim }\left|f(x)\right|\cdot (b-x{)}^{\alpha }=L\in ]0,+\infty [\cup \{+\infty \}$
   allora $f$ non è assolutamente integrabile in senso generalizzato.

Esempio: $f(x)=e^{-x^2}$
Scelgo $\alpha =2$ e si ha che $\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^{-x^2}\cdot x^2=0$
Per il criterio dell’ordine di infinitesimo, deduco che $e^{-x^2}$ è integrabile in senso generalizzato su $[0,+\infty [$.

Esempio: Stabilire se $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+x^3}}$ è integrabile in senso generalizzato su $J=]0,3]$.
Usiamo il criterio dell’ordine di infinito con $\alpha =\frac{1}{2}$
$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left|f(x)\right|\cdot x^{\alpha }=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+x^3}}\cdot \sqrt{x}=1\in ]0,+\infty [$
dunque $f$ è integrabile in senso generalizzato su $]0,3]$.

Dimostrazione

Risorse