criterio di Leibniz

Teorema

Supponiamo che

1. $a_n\ge 0\forall n$
2. $a_{n+1}\le a_n\forall n$
3. $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=0$

Allora la serie $\sum _{n=1}^{+\infty }(-1{)}^n{a}_n$ converge.
Inoltre $\forall n\left|s-s_n\right|\le a_{n+1}$

Dimostrazione

$\sum _{n=1}^{+\infty }(-1{)}^n{a}_n$

$s_{2k+1}=s_{2k}-a_{2k+1}=s_{2k-1}+a_{2k}-a_{2k+1}\ge s_{2k-1}\dots \ge s_1$

$s_{2k+2}=s_{2k+1}+a_{2k+2}=s_{2k}-a_{2k+1}+a_{2k+2}\le s_{2k}\le \dots \le s_2$

$s_1\le \dots \le s_{2k+1}=s_{2k}-a_{2k+1}\le s_{2k}\le \dots \le s_2$

Dunque $\{s_{2n+1}\}$ formano una successione decrescente, mentre $\{s_{2n+1}\}$ formano una successione crescente. Entrambe sono successioni limitate. Dunque entrambe le successioni ammettono limite finito.

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{s}_{2n+2}=s$
$\underset{n\to +\infty }{\lim }{s}_{2n+1}=s^{\prime }$

$s^{\prime \prime }=s_{2n+2}=s_{2n+1}+(-1{)}^{2n+2}{a}_{2n+2}=s_{2n+1}+a_{2n+2}$

$s_{2n+1}$ tende a $s^{\prime }$ e $a_{2n+2}$ tende a 0, dunque insieme tendono a $s^{\prime }$.

Dunque $s^{\prime \prime }=s^{\prime }$ e quindi

$s_n\stackrel{n\to +\infty }{⟶}s=s^{\prime \prime }=s^{\prime }$

e quindi la successione converge.

Verificare che $\left|s-s_n\right|\le a_{n+1}$

Risorse