funzioni assolutamente e semplicemente integrabili in senso generalizzato in R

Definizione

Sia $f:J\to \mathbb{R}$ localmente integrabile.

• Si dice che $f$ è assolutamente integrabile in senso generalizzato se $\left|f\right|$ è integrabile in senso generalizzato.

• Si dice che $f$ è semplicemente integrabile in senso generalizzato se $f$ è integrabile in senso generalizzato, ma $\left|f\right|$ non lo è.

Teorema: Sia $f:J\to \mathbb{R}$ una funzione assolutamente integrabile in senso generalizzato. Allora $f$ è integrabile in senso generalizzato e vale
$\left|{\int }_{J}f(x)dx\right|\le {\int }_J\left|f(x)\right|dx$

Dimostrazione: $0\le \left|f(x)\right|-f(x)\le 2\left|f(x)\right|$
Poiché $\left|f(x)\right|$ è integrabile, allora per il teorema del confronto, anche $\left|f(x)\right|-f(x)$ è integrabile.

$f(x)=\left|f(x)\right|-\left[\left|f(x)\right|-f(x)\right]$ sono entrambe integrabili in senso generalizzato.

Inoltre $-\left|f(x)\right|\le f(x)\le \left|f(x)\right|$
Si ha che

$-{\int }_J\left|f(x)\right|dx\le {\int }_{J}f(x)dx\le {\int }_J\left|f(x)\right|dx$
$\left|{\int }_{J}f(x)dx\right|\le {\int }_J\left|f(x)\right|dx$

Esempio: $f(x)=\frac{\sin x}{x^2}$ è assolutamente integrabile in senso generalizzato su $J=[a,+\infty [$

$J=[1,+\infty [\left|\frac{\sin x}{x^2}\right|\le \frac{\left|\sin x\right|}{x^2}\le \frac{1}{x^2}$

Esempio: $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ è semplicemente integrabile in senso generalizzato su $J=[a,+\infty [$

Proviamo che $\left|\frac{\sin x}{x}\right|$ non è integrabile.

${\sin }^{2}x={\left|\sin x\right|}^2\le \left|\sin x\right|$

$\left|\frac{\sin x}{x}\right|\ge \frac{{\sin }^{2}x}{x}$

$\frac{{\sin }^{2}x}{x}=\frac{1-\cos 2x}{2x}=\frac{1}{2x}-\frac{\cos 2x}{2x}$

la prima parte vale $\frac{1}{2}\ln (t)$, la seconda parte si fa per parti.

Risorse