insiemistica dei sottospazi vettoriali

Risultati

Lemma
Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$; siano $U,W\in V$ sottospazi vettoriali; allora $U\cap W$ è uno sottospazio vettoriale di $V$.

Dimostrazione
Verifichiamo che $U\cap W$ soddisfa le tre proprietà di sottospazio vettoriale:

1. mostriamo che $0\in U\cap W$; dato che $U$ e $W$ sono sottospazi vettoriali, allora $0\in U$ e $0\in W$; quindi $0\in U\cap W$.
2. mostriamo che se $v_1,v_2\in U\cap W$, allora $v_1+v_2\in U\cap W$; supponiamo che $v_1,v_2\in U\cap W$; allora $v_1,v_2\in U$ e $v_1,v_2\in W$; dato che $U$ e $W$ sono sottospazi vettoriali, allora $v_1+v_2\in U$ e $v_1+v_2\in W$; quindi $v_1+v_2\in U\cap W$.
3. mostriamo che se $v\in U\cap W$ e $\lambda \in K$, allora $\lambda \cdot v\in U\cap W$; consideriamo quindi $\lambda \in K$ e $v\in U\cap W$; allora $v\in U$ e $v\in W$; dato che $U$ e $W$ sono sottospazi vettoriali, allora $\lambda \cdot v\in U$ e $\lambda \cdot v\in W$; quindi $\lambda \cdot v\in U\cap W$.

Osservazione
Non è vero che se $V$ è spazio vettoriale su $K$ e $U,W\in V$ sono sottospazi vettoriali, allora $U\cup W$ è uno sottospazio vettoriale di $V$ (non soddisfa la somma).

Definizione
Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$; siano $U,W\in V$ sottospazi vettoriali; definiamo:

$U+W=\{u+w:u\in U,w\in W\}$

e chiamiamo questo insieme il sottospazio vettoriale somma di $U$ e $W$.

Lemma
$U+W$ è uno sottospazio vettoriale di $V$.

Dimostrazione
Per esercizio.

Lemma
Con la notazione precedente, vale che $U\subseteq U+W$ e $W\subseteq U+W$.

Dimostrazione
Mostrare che $U\subseteq U+W$ significa mostrare che $\forall u\in U$, vale che $u\in U+W$ (e analogamente per gli elementi di $W$); per farlo, dato $u\in U$, dobbiamo mostrare che $u$ si può scrivere come somma di un elemento di $U$ e di un elemento di $W$; ora $u=u+0$ quindi $u\in U+W$.

Corollario
$U\cup W\in U+W$; inoltre si può dimostrare che $U+W$ è il più piccolo sottospazio di $V$ che contiene $U\cup W$.

Risorse