M-test di Weierstrass

Teorema

Se esiste una successione $(M_n{)}_n{M}_n\in \mathbb{R}$ tale che $\left|f_n(x)\right|\le M_n\forall n\in \mathbb{N},\forall x\in E$ e se $\sum _{n=1}^{+\infty }{M}_n$ converge, allora si ha che $\sum _{n=1}^{+\infty }{f}_n(x)$ converge uniformemente in $E$.

Dimostrazione

$\left|f_n(x)+f_{n+1}(x)+\dots +f_{n+p}(x)\right|\le$
$\le \left|f_n(x)\right|+\left|f_{n+1}(x)\right|+\dots +\left|f_{n+p}(x)\right|\le$
$\le \left|M_n+M_{n+1}+\dots +M_{n+p}\right|\forall x\in E$

Poiché la serie $\sum _{n=1}^{+\infty }{M}_n$ converge, allora verifica il criterio di Cauchy e di conseguenza $\forall \epsilon >0,\exists \overline{n}:\forall n\ge \overline{n},\forall p>0,\forall x\in E,\left|M_n+M_{n+1}+\dots +M_{n+p}\right|\le \epsilon$

Osservazione

Dall’M-test di Weierstrass si deduce anche che $\sum \left|f_n(x)\right|$ converge uniformemente.

Risorse