negazione di proposizioni con i quantificatori

Negazione

Osservazione: come posso fare la negazione di una frase con i quantificatori.

Importante
Per negare una proposizione con i quantificatori, occorre sostituire il quantificatore esistenziale con il quantificatore universale e viceversa, quindi la negazione si distribuisce all’interno, quindi:

• $\neg (\exists x:\mathcal{P}(x))$ diventa $\forall x,\neg (\mathcal{P}(x))$
• $\neg (\forall x,\mathcal{P}(x))$ diventa $\exists x:\neg (\mathcal{P}(x))$

Per esempio, prendiamo

$\forall x,\mathcal{P}(x)$
“ogni studente è più alto di 1,7m.”

dobbiamo negarla, perciò “non è vero che $\dots$”

ATTENZIONE!
NON è vero che
$\neg (\forall x,\mathcal{P}(x))\ne \forall x,\neg \mathcal{P}(x)$
poiché sarebbe
“ogni studente non è più alto di 1,7m.”

Esempi
$\neg (\forall x,\mathcal{P}(x))=\exists x:\neg \mathcal{P}(x)$
”esiste almeno uno studente che non è più alto di 1,7m.”

Similmente

$\neg (\exists y:\mathcal{T}(y))=\forall y,\neg \mathcal{T}(y)$

Riprendiamo $\mathcal{Q}(x,y)$ e neghiamolo

$\neg (\exists x:\forall x,\mathcal{Q}(x,y))$
“non è vero che esiste uno studente che è amico di tutti gli studenti.”

$\neg (\exists x:\mathcal{Q}(x,y))=\forall y,\neg (\forall x,\mathcal{Q}(x,y))=\forall y,\exists x:\neg \mathcal{Q}$
“ogni studente non è amico di almeno uno studente.”

Similmente

$\neg (\forall x,\exists y:\forall z,\mathcal{S}(x,y,z))$
“non è vero che in ogni ospedale, esiste almeno un medico che ha sbagliato tutte le diagnosi”

$=\exists x:\forall y,\exists z:\neg \mathcal{S}(x,y,z)$
“esiste un ospedale in cui ogni medico ha determinato almeno una diagnosi.”

Esempi con la definizione di limite
$\underset{x\to x_o}{\lim }f(x)=\ell$
$x_0,\ell \in \mathbb{R}$

$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\forall x\in \mathbb{E},$
$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-\ell |<\epsilon$

Modificando correttamente i quantificatori, la sua negazione è

$\exists \epsilon >0:\forall \delta >0,\exists x\in \mathbb{E}:$
$\neg (0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-\ell |<\epsilon )$

Poiché prima abbiamo visto che

$\neg (p\Rightarrow q)=p\wedge \neg q$

allora la negazione diventa

$\exists \epsilon >0:\forall \delta >0,\exists x\in \mathbb{E}:$
$0<|x-x_0|<\delta \wedge |f(x)-\ell |\ge \epsilon$

Risorse