Operatore lineare continuo

Definizione

Siano $X$ e $Y$ spazi normati (ad esempio spazi di Banach o di Hilbert). Un operatore lineare $T:X\to Y$ si dice continuo se una delle seguenti condizioni equivalenti è soddisfatta:

1. Continuità topologica: Per ogni intorno $V$ di $0$ in $Y$, esiste un intorno $U$ di $0$ in $X$ tale che $T(U)\subseteq V$

2. Continuità sequenziale: Per ogni successione $\{x_n\}\subset X$ convergente a $x\in X$, si ha $T(x_n)\to T(x)$ in $Y$

3. Limitazione: Esiste una costante $C>0$ tale che:

   $$\Vert T(x){\Vert }_Y\le C\Vert x{\Vert }_X\text{per ogni }x\in X$$

Disuguaglianza fondamentale

Se $T$ è lineare e continuo, allora esiste la costante di operatore (o norma dell’operatore):

$$\Vert T\Vert =\underset{\Vert x{\Vert }_X=1}{\sup }\Vert T(x){\Vert }_Y=\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{\Vert T(x){\Vert }_Y}{\Vert x{\Vert }_X}$$

Proprietà

• In spazi di dimensione finita, ogni operatore lineare è continuo
• La continuità di un operatore lineare è equivalente alla limitazione
• L’insieme degli operatori lineari continui da $X$ in $Y$, denotato $\mathcal{L}(X,Y)$, è uno spazio vettoriale normato con la norma operatoriale

Risorse