permanenza del segno del limite in R

Teorema

Sia $f:E\to \mathbb{R}$, con $E\subseteq \mathbb{R}$,
sia $x_0,L\in \tilde{\mathbb{R}}$, $x_0$ punto di accumulazione per $E$

supponiamo che $L>0$ ($L\in ]0,+\infty [$ oppure $L=+\infty$)

Allora $\exists \overline{U}di{x}_0:\forall x\in (\overline{U}\cap E)\setminus \{x_0\}\Rightarrow f(x)>0$

(a parole: se $f$ ha limite maggiore di zero, allora anche la funzione è maggiore di zero per $x$ in un opportuno intorno di $x_0$)

Dimostrazione

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=L\iff \forall VdiL,\exists Udi{x}_0:\forall x\in E,x\in U\setminus \{x_0\}\Rightarrow f(x)\in V$

ora se $L>0$ (cioè se $L\in ]0,+\infty [$ oppure $L=+\infty$)

posso scegliere come $V$ l’insieme $]0,+\infty [$

(per esercizio verificare che è vero)

Applico la definizione di limite e ho concluso.

Osservazione
Se $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)>0$ allora $\exists Udi{x}_0:\forall x\in U\setminus \{x_0\},f(x)>0$

se $f(x)\le 0$ ed esiste il limite, allora il limite è $\le 0$

Risorse