prodotto di matrici

Definizione

Sia $A\in M_{1,n}(\mathbb{R})$ e sia $B\in M_{n,1}(\mathbb{R})$; allora definiamo il prodotto $A\cdot B$ come il numero (o equivalentemente la matrice $1\times 1$) dato da

$A\cdot B=a_{11}\cdot b_{11}+\cdots +a_{1n}\cdot b_{n1}=\sum _{k=1}^n{a}_{k1}\cdot b_{k1}$

(questo è il prodotto di una riga per una colonna)

in generale, se $A\in M_{m,p}(\mathbb{R})$ e $B\in M_{p,n}(\mathbb{R})$, allora il prodotto $A\cdot B$ è la matrice $m\times n$ la cui entrata di posto $i,j$ è data da

$(A\cdot B{)}_{ij}=A_{(i)}\cdot B^{(j)}=a_{i1}\cdot b_{1j}+\cdots +a_{ip}\cdot b_{pj}=\sum _{k=1}^p{a}_{ik}\cdot b_{kj}$

Il prodotto tra due matrici $A$ e $B$ è definito solo se il numero di colonne di $A$ coincide con il numero di righe di $B$.

Proposizione
Siano $A,B\in M_{m,p}(\mathbb{R})$ e sia $C,D\in M_{p,n}(\mathbb{R})$,
allora valgono le seguenti uguaglianze:

1. $(A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$ (proprietà distributiva a destra)
2. $A\cdot (C+D)=A\cdot C+A\cdot D$ (proprietà distributiva a sinistra)

Proposizione
Sia $A\in M_{m,p}(\mathbb{R})$, $B\in M_{p,q}(\mathbb{R})$ e $C\in M_{q,n}(\mathbb{R})$,
allora vale che:

$(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$ (proprietà associativa del prodotto)

Proposizione
Sia $A\in M_{m,p}(\mathbb{R})$ e $B\in M_{p,n}(\mathbb{R})$, allora:

$\underset{n\times m}{\underbrace{{}^t(A\cdot B)}}\ne \underset{p\times m}{\underbrace{{}^{t}A}}\cdot \underset{n\times p}{\underbrace{{}^{t}B}}$

Le matrici ${}^{t}A\cdot {}^{t}B$ non si possono moltiplicare tra loro in generale (ne $m\ne n$).

Vale invece che:

$\underset{n\times m}{\underbrace{{}^t(A\cdot B)}}=\underset{n\times p}{\underbrace{{}^{t}B}}\cdot \underset{p\times m}{\underbrace{{}^{t}A}}$

Proposizione
Sia $A\in M_{m,n}(\mathbb{R})$, allora:

$1_m\cdot A=A$ e $A\cdot 1_m=A$

Nel caso delle matrici quadrate, la matrice unità $1_n$ funge dunque da elemento neutro per il prodotto righe per colonne:

per ogni $A\in M_n(\mathbb{R})$ vale che

$1_n\cdot A=A$ e $A\cdot 1_n=A$

matrice invertibile
trasposta di un prodotto fra matrici

Risorse