relazione tra serie ed integrale generalizzato

Teorema

funzione a gradino-scalino-scala

1. $\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n$ converge con somma $s$ $\iff$ $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\int }_0^{x}a(t)dt={\int }_0^{+\infty }a(t)dt=s$

2. $\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n$ diverge a $+\infty$ $\iff$ $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\int }_0^{x}a(t)dt=+\infty$

Dimostrazioni

Dimostrazione 1:
"$\Leftarrow$" $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_0^{n}a(t)dt=\underset{n\to +\infty }{\lim }{s}_n=s$

"$\Rightarrow$" $\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n$ converge a $s$; $n\le x<n+1$,
${\int }_0^{x}a(t)dt={\int }_0^{n}a(t)dt+{\int }_n^{x}a(t)dt=s_n+\underset{\text{in quanto la serie eˋ convergente}}{\underbrace{a_{n+1}}}\cdot \underset{\text{limitato}}{\underbrace{(x-n)}}\to s$

Dimostrazione 2:
"$\Leftarrow$" come fatto prima
"$\Rightarrow$" $\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n$ diverge a $+\infty$; $n\le x<n+1$,
$s_n={\int }_0^{n}a(t)dt\le {\int }_0^{x}a(t)dt={\int }_0^{n}a(t)dt+{\int }_n^x{a}_{n+1}dt=s_n+a_{n+1}\cdot (x-n)\le s_n+a_{n+1}\le s_n+1$
poiché $(x-n)\le 1$

In maniera analoga
$s_{n+1}\le {\int }_0^{x}a(t)dt\le s_n{a}_{n+1}\le 0$

In conclusione, si ha che
$min\{s_n,s_{n+1}\}\le {\int }_0^{x}a(t)dt\le max\{s_n,s_{n+1}\}$

e poiché $min\{s_n,s_{n+1}\}\to +\infty$, allora
$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\int }_0^{x}a(t)dt=+\infty$

Risorse