serie

Definizione

Sia $(a_n{)}_n$ una successione di numeri reali. Si dice serie di termine generale $a_n$ la somma formale

${\sum }_{n=1}^{+\infty }{a}_n=a_1+a_2+a_3+\dots$

Per ogni indice $n$ della successione si definisce la somma parziale (o ridotta) n-esima associata ad $(a_n{)}_n$ come

$s_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k=a_1+a_2+\dots +a_n$

Si dice che $\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n$ è convergente se esiste finito $\underset{n\to +\infty }{\lim }{s}_n=s$; s si dice somma della serie e si scrive $\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n=s$.

Se $\underset{n\to +\infty }{\lim }{s}_n=+\infty$ (o $-\infty$), la serie si dice divergente a $+\infty$ (o $-\infty$).

Se il limite non esiste, la serie si dice indeterminata.

Esempio: $\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{2^n}$

$s_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{2^k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2^n}=1$ converge a 1.

Esempio: $1+2+3+4+\dots$ diverge a $+\infty$
$s_n=1+2+3+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$

Esempio: $1-1+1-1+\dots +(-1{)}^{n+1}+\dots$ è indeterminata.

Risorse