serie armonica generalizzata

Teorema

Consideriamo la serie $\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^p}$ con $p>0$.

• se $0<p\le 1$, allora la serie diverge
• se $p>1$, allora la serie converge con somma $s\le \frac{p}{p-1}$

Dimostrazione (idea)

$\sum _{n=1}^{+\infty }\leftrightarrow a(\cdot )[0,+\infty [\to \mathbb{R}$
$\leftrightarrow f(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{se }0\le x<1\\ \frac{1}{x^p}& \text{se }x\ge 1\end{array}$
$a(x)\le f(x)$

Risorse