serie di funzioni

Definizione

Una serie di funzioni è una somma infinita della forma:

$$\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n(x)$$

dove $f_n:A\to \mathbb{R}$ è una successione di funzioni definite su un insieme $A\subseteq \mathbb{R}$.

Somma parziale:

La somma parziale della serie è data da:

$$S_N(x)=\sum _{n=1}^N{f}_n(x)$$

e rappresenta la funzione ottenuta sommando i primi $N$ termini della serie.

Convergenza puntuale:

La serie ${\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_n(x)$ converge puntualmente a una funzione $f(x)$ su $A$ se:

$$\underset{N\to \infty }{\lim }{S}_N(x)=f(x)\text{per ogni}x\in A$$

Convergenza uniforme

La serie ${\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_n(x)$ converge uniformemente a $f(x)$ su $A$ se:

$$\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}:\forall n\ge N,\forall x\in A,|S_N(x)-f(x)|<\epsilon$$

Convergenza assoluta

La serie ${\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_n(x)$ è assolutamente convergente su $A$ se la serie delle sue norme converge:

$$\sum _{n=1}^{\infty }|f_n(x)|$$

Risorse