serie telescopica o di Mengoli

Definizione

Consideriamo la serie

$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\dots +\frac{1}{n\cdot (n+1)}+\dots ={\sum }_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n\cdot (n+1)}$

$s_n=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots +\frac{1}{n\cdot (n+1)}=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\dots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}\stackrel{n\to +\infty }{⟶}1$

La serie di Mengoli è convergente.

Risorse