teorema condizione necessaria per la convergenza

Teorema

Se $\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n$ è convergente, allora $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=0$.

Dimostrazione

$a_n=s_n-s_{n-1}$, sia $s_n$ e sia $s_{n-1}$ convergono a $s$, allora $a_n$ converge a 0.
La condizione è necessaria, ma non sufficiente (si pensi alla serie armonica).

Osservazione: $(a_n{)}_n$

${\sum }_{n=1}^{N+k}{a}_n={\sum }_{n=1}^N{a}_n+{\sum }_{n=N+1}^{N+k}{a}_n$

Se la prima parte converge o diverge, la seconda parte diverge o converge. Hanno lo stesso comportamento.

Risorse