teorema del confronto dei limiti in R

Teorema

Siano $f,g:E\to \mathbb{R}$, con $E\subseteq \mathbb{R}$,
sia $x_0\in \tilde{\mathbb{R}}$, $x_0$ punto di accumulazione per $E$

supponiamo che $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\infty$

e che $\forall x\in E\setminus \{x_0\}$, $g(x)\ge f(x)$

Allora $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=+\infty$

Dimostrazione

Per esempio $x_0\in \mathbb{R}$,
$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\infty$

$\forall M>0,\exists \delta >0:\forall x\in E,0<|x-x_0|<\delta$
$\Downarrow$
$f(x)>M$
$\Downarrow$
$g(x)\ge f(x)>M$
$\Downarrow$
$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=+\infty$

Risorse