teorema delle forme indeterminate dei limiti in R

Teorema

Sia $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\infty$ e
$\exists M>0:\forall x\in E\setminus \{x_0\}$, $g(x)>-M$
allora $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)+g(x)=+\infty$
(resta escluso il caso $+\infty -\infty$) FORMA INDETERMINATA

Sia $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\infty$ e
$\exists \rho >0:\forall x\in E\setminus \{x_0\}$, $g(x)>\rho$
allora $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\cdot g(x)=+\infty$
(resta escluso il caso $+\infty \cdot 0$) FORMA INDETERMINATA

Dimostrazione

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\infty$
$\Updownarrow$
$\forall K>0,\exists \delta >0:\forall x\in E,0<|x-x_0|<\delta$
$\Downarrow$
$f(x)>K$

se scelgo $K=M+M_0$

sappiamo che $\forall x\in E\setminus \{x_0\}$, $g(x)>-M_0$

ho che $\forall M>0,\exists \delta >0:\forall x\in E,$
$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)+g(x)>M$

l’altro caso si dimostra analogamente.

Risorse