teorema derivata di una serie

Teorema

Sia data una successione di funzioni $f_n:(a,b)\to \mathbb{R}$ derivabili, se:

$i)$ la serie delle derivate prime $\sum _{n=1}^{+\infty }{f}_n^{\prime }(t)$ converge uniformemente in $(a,b)$ con somma $G(t)$

$ii)$ la serie delle funzioni converge almeno in un punto $t_0\in (a,b)$

allora anche la serie $\sum _{n=1}^{+\infty }{f}_n(t)$ converge uniformemente in $(a,b)$, detta $F(t)$ la sua somma, risulta $F$ derivabile e $F^{\prime }=G$, cioè

${\left(\sum _{n=1}^{+\infty }{f}_n(t)\right)}^{\prime }=\sum _{n=1}^{+\infty }{f}_n^{\prime }(t)$

Dimostrazione

Risorse