teorema operazioni con i limiti in R

Teorema

Siano $f,g:E\to \mathbb{R}$, con $E\subseteq \mathbb{R}$,
sia $x_0\in \tilde{\mathbb{R}}$, $x_0$ punto di accumulazione per $E$

supponiamo
$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\ell$
con $l\in \mathbb{R}$
$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=m$
con $m\in \mathbb{R}$

Allora

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\pm g(x)=\ell \pm m$
$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\cdot g(x)=\ell \cdot m$

se $m\ne 0$,
$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)÷g(x)=\ell ÷m$

Dimostrazione

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\ell$
$\Updownarrow$
$\forall \epsilon >0,\exists {\delta }_1>0:\forall x\in E,0<|x-x_0|<{\delta }_1$
$\Downarrow$
$\ell -\frac{\epsilon }{2}<f(x)<\ell +\frac{\epsilon }{2}$

$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=m$
$\Updownarrow$
$\forall \epsilon >0,\exists {\delta }_2>0:\forall x\in E,0<|x-x_0|<{\delta }_2$
$\Downarrow$
$m-\frac{\epsilon }{2}<g(x)<m+\frac{\epsilon }{2}$

se scelgo $\delta =min\{{\delta }_1,{\delta }_2\}$, allora valgono contemporaneamente

sommo termine a termine e ottengo

$\ell -\frac{\epsilon }{2}+m-\frac{\epsilon }{2}<f(x)+g(x)<\ell +\frac{\epsilon }{2}+m+\frac{\epsilon }{2}$

quando $0<|x-x_0|<\delta$
$(\ell +m)-\epsilon <f(x)+g(x)<(\ell +m)+\epsilon$

ho $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)+g(x)=\ell +m$

Idea nel caso del prodotto
$|f(x)g(x)-\ell m|\le |f(x)g(x)-f(x)m+f(x)m-\ell m|$
$\le |f(x)g(x)-f(x)m|+|f(x)m-\ell m|$
$\le |f(x)||g(x)-m|+|m||f(x)-\ell |$
con $f(x)$ che vicino a $x_0$ è come una costante, perché è limitata a $\ell \in \mathbb{R}$

Risorse