teorema proprietà caratteristiche del raggio di convergenza

Teorema

Il raggio di convergenza $R$ verifica le seguenti proprietà:

$i)$ se $x\in \mathbb{R}$ è tale che $\left|x-x_0\right|<R$ allora la serie di potenze $\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n$ converge assolutamente

$ii)$ se $x\in \mathbb{R}$ è tale che $\left|x-x_0\right|>R$ allora la serie di potenze $\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n$ non converge.

Viceversa, se $R^{\prime }\in [0,+\infty )\cup \{+\infty \}$ verifica le proprietà $i)$ e $ii)$ allora $R^{\prime }$ è il raggio di convergenza $R$.

Dimostrazione

$i)$ $\forall \epsilon >0,\exists \overline{x}\in I:R<\left|\overline{x}-x_0\right|+\epsilon$, se scelgo $\epsilon =R-\left|x-x_0\right|>0$ allora $R<\left|\overline{x}-x_0\right|+R-\left|x-x_0\right|\Rightarrow \left|x-x_0\right|<\left|\overline{x}-x_0\right|$ e dunque per il lemma di Abel la serie converge (assolutamente) in $x$.

Risorse