unicità del limite in R

Teorema

Sia $f : E \to R$ , con $E \subseteq R$
sia $x_{0} \in R$ , $x_{0}$ punto di accumulazione per $E$
siano $L_{1}, L_{2} \in \tilde{R}$ tali che

$x \to x_{0} lim f (x) = L_{1}$
$x \to x_{0} lim f (x) = L_{2}$

allora $L_{1} = L_{2}$ .

Per assurdo supponiamo che $L_{1} \neq = L_{2}$

¿ esiste $V_{1}$ di $L_{1}$ e $V_{2}$ di $L_{2}$ tali che $V_{1} \cap V_{2} = \emptyset$ ? Sì!

$lo chiamo 3 r ∣ L_{1} - L_{2} ∣ > 0$ perché $L_{1} \neq = L_{2}$

scelgo due intorni come sopra $V_{1} \cap V_{2} = \emptyset$ .

Applico la definizione di limite con $L_{1}$ e $V_{1}$

$x \to x_{0} lim f (x) = L_{1}$

scelgo $V_{1}$

$\exists U_{1} d i x_{0} : \forall x \in E, x \in U_{1} ∖ {x_{0}} \Rightarrow f (x) \in V_{1}$

ora con $L_{2}$ e $V_{2}$

$x \to x_{0} lim f (x) = L_{2}$

scelgo $V_{2}$

$\exists U_{2} d i x_{0} : \forall x \in E, x \in U_{2} ∖ {x_{0}} \Rightarrow f (x) \in V_{2}$

quindi scelgo $x \in U_{1} \cap U_{2} ∖ {x_{0}}$ con $x \in E$

allora $f (x) \in V_{1} \cap V_{2}$

siamo giunti a un assurdo, perche $V_{1} \cap V_{2} = \emptyset$