Vettore nullo

Definizione

Il vettore nullo (o vettore zero) in uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$ è l’elemento neutro rispetto all’operazione di addizione vettoriale. Si indica generalmente con $0$ o $\vec{0}$.

Proprietà caratterizzanti

Per ogni spazio vettoriale $V$ e per ogni $v\in V$, il vettore nullo è l’unico elemento che soddisfa:

1. Elemento neutro dell’addizione: $v+0=0+v=v$
2. Moltiplicazione per scalare: $0\cdot v=0$ (dove il primo $0$ è lo scalare zero, il secondo è il vettore nullo)
3. Assorbimento: $\alpha \cdot 0=0$ per ogni $\alpha \in K$

Rappresentazione in spazi concreti

• In ${\mathbb{R}}^n$: $0=(0,0,\dots ,0)$
• In $M_{m\times n}(\mathbb{R})$: la matrice nulla con tutti gli elementi uguali a 0
• In $C([a,b])$: la funzione identicamente nulla $f(x)=0$ per ogni $x\in [a,b]$
• In $\mathbb{R}[x]$: il polinomio nullo

Proprietà

• Il vettore nullo è unico in ogni spazio vettoriale
• È linearmente dipendente da qualsiasi insieme di vettori
• Il sottospazio banale $\{0\}$ contiene solo il vettore nullo
• Il vettore nullo ha norma zero in qualsiasi spazio normato: $\Vert 0\Vert =0$

Risorse