applicazione continua

Definizione

Siano $X$ e $Y$ spazi topologici. Un’applicazione $f:X\to Y$ è continua se $\forall V\subset Y$ aperto in $Y$ si ha $f^{-1}(V)\subset X$ aperto in $X$.

In altre parole: $f:X\to Y$ è continua $\iff$ le preimmagini tramite $f$ degli aperti sono aperti.

Osservazione

$f^{-1}(Y-V)=X-f^{-1}(V)$. Quindi $f:X\to Y$ continua $\iff$
$\forall C\subset Y$ chiuso in $Y$ si ha $f^{-1}(C)\subset X$ chiuso in $X$.

Osservazione

• $c:X\to Y$ costante è continua.
• $I{d}_X:X\to X$ identità è continua.
• $Y\in X$ sottospazio $\Rightarrow$ mappa d’inclusione $i_y:Y\to X$ continua
• $\forall f:X_{\text{dis}}\to Y$ continue
• $\forall f:X\to Y_{\text{ban}}$ continue
• Restrizioni di applicazioni continue a sottospazi del dominio o del codominio sono continue.

Proposizione

$f:X\to Y$ e $g:Y\to Z$ continue $\Rightarrow$ $g\circ f:X\to Z$ continua.

La dimostrazione segue subito dal fatto che $(g\circ f{)}^{-1}(V)=f^{-1}(g^{-1}(V))$ $\forall V\subset Z$.