chiusura

Definizione

Si chiama chiusura di $A$ in $X$ il sottospazio

$\overline{A}={\text{CL}}_{X}A:={\bigcap }_{C\subset A}C$

intersezione di tutti i chiusi di $X$ che contengono $A$.

Osservazioni

• ${\text{CL}}_{X}A$ è il più piccolo chiuso di $X$ che contiene $A$
• $A\subset {\text{CL}}_{X}A$ e vale l’uguaglianza $\iff A$ chiuso in $X$
• $A\subset C$ e $C$ chiuso in $X\Rightarrow {\text{CL}}_{X}A\subset C$

Proposizione

$x\in {\text{CL}}_{X}A\iff \forall U\subset X$ intorno (aperto) di $x$ in $X$ si ha $U\cap A\ne \varnothing$

Dimostrazione

Senza perdita di generalità basta considerare $U$ intorno aperto di $x$.

$(\Rightarrow )$ Per assurdo, supponiamo $U\cap A=\varnothing \Rightarrow A\subset X-U$ chiuso $\Rightarrow$
${\text{CL}}_{X}A\subset X-U\Rightarrow x\in X-U$ assurdo perché $x\in U$.

$(\Leftarrow )$ Per assurdo, supponiamo $x\notin {\text{CL}}_{X}A\Rightarrow x\in U:=X-{\text{CL}}_{X}A$ aperto $\Rightarrow U\cap A\subset U\cap {\text{CL}}_{X}A=\varnothing \Rightarrow U\cap A=\varnothing$ assurdo.

Risorse