chiusura e distanza da un insieme

Proposizione

Siano $(X,d)$ uno spazio metrico e $\varnothing \ne A\subset X$. Allora
${\text{CL}}_X(A)=\{x\in X\mid d(x,A)=0\}.$

Dimostrazione

Poniamo $C=\{x\in X\mid d(x,A)=0\}$ e dimostriamo ${\text{CL}}_X(A)=C$.

$(\subset )$ $C$ chiuso in $X$ perché definito da un’equazione continua.
$A\subset C\Rightarrow {\text{CL}}_X(A)\subset C$.

$(\supset )$ $\forall x\in C,\forall r>0\exists a\in A$ t.c. $d(x,a)<r\Rightarrow B(x,r)\cap A\ne \varnothing \Rightarrow x\in {\text{CL}}_X(A)$.

Corollari

Corollario 1:
$\forall x\in X$ si ha $x\in {\text{CL}}_X(A)\iff d(x,A)=0$.

Corollario 2:
$\forall x\in X$ si ha $x\in {\text{Fr}}_{X}A\iff d(x,A)=d(x,X-A)=0$.

Corollario 3:
$A\subset X$ chiuso, $x\in X$ e $d(x,A)=0\Rightarrow x\in A$.

Nota:
$A,B\ne \varnothing$, $A,B\subset X$ chiusi e $d(A,B)=0\nRightarrow A\cap B\ne \varnothing$.

Risorse