condizione di non esistenza del limite per differenti direzioni di avvicinamento

non esistenza del limite per differenti direzioni di avvicinamento

Osservazione

Una condizione per la non esistenza del limite è la seguente.
Il fatto che $\exists \underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=L$ vuol dire che ogni tipo avvicinamento a $d((x,y),(x_0,y_0))$ risulta nella convergenza di $f(x,y)$ allo stesso valore $L$.

Dunque se esistono due avvicinamenti a $(x_0,y_0)$ con correlati valori limite diversi, allora il limite non esiste.

Esempio

Studiare il limite $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{x^2{y}^2}{x^4+y^4}$

Con $y=mx$, considero $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2(mx{)}^2}{x^4+(mx{)}^4}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{m^2{x}^4}{x^4(1+m^4)}=\frac{m^2}{1+m^4}$

Il limite non esiste, poiché dipende da $m$.

Risorse