condizioni per l’inverso del teorema di Lagrange

Teorema

Quando si può invertire il teorema di Lagrange? Cioè quando, dato un gruppo $G$ di ordine $n$ e un numero $d$ che divide $n$, esiste un sottogruppo di $G$ di ordine $d$.

Primo esempio

Se $G$ è un gruppo ciclico finito di ordine $n$ e se $d\mid n$ allora esiste un sottogruppo di $G$ di ordine $d$.

Dimostrazione

Sia $g$ un generatore di $G$, e sia $h=g^{\frac{n}{m}}$.

Sia $H$ il sottogruppo ciclico di $G$ generato da $h$.

Che ordine ha $|H|$?

L’ordine di $(g^{\frac{n}{m}})$, cioè il più piccolo intero $r$ tale che $(g^{\frac{n}{m}}{)}^r=1$, potrebbe essere $m$ oppure un suo divisore. $(g^{\frac{n}{m}}{)}^m=g^n=1$.

Sappiamo che se in un gruppo un elemento ha ordine $r$ e se $h^m=1$, allora $r$ divide $m$.

Se fosse $r<m$, avremmo che $g^{\frac{n}{m}r}=1$ e $\frac{n}{m}r<n$, quindi per forza $r=m$.
Quindi $|H|=m$.

Risorse